Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 20\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 2d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 120\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\4u_1^2 + 12{u_1}d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\4{\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)^2} + 12\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\100 - 60d + 9{d^2} + 60d - 18{d^2} + 14{d^2} = 120\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\5{d^2} = 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\d = \pm 2\end{array} \right.\).

Với \(d = 2\) thì \({u_1} = 2;{u_2} = 4;{u_3} = 6;{u_4} = 8\).

Với \(d = - 2\)thì \({u_1} = 8;{u_2} = 6;{u_3} = 4;{u_2} = 2\).