Tìm a để (x – a)(x – 10) + 1 phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất với hệ số nguyên.

Lời giải:

Giả sử (x – a)(x – 10) + 1 = (x – m)(x – n), (m, n \( \in \)\(\mathbb{Z}\))

x² – (a + 10)x + 10a + 1 = x² – (m + n)x + mn

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 10 = m + n\\10{\rm{a  +  1  =  mn}}\end{array} \right.\)

Khử a ta có:

mn – 10(m + n) = 1 + 10a – 10(a + 10)

mn – 10(m + n) = 1 - 100

mn – 10n – 10m + 100 = 1

 (m – 10)(n – 10) = 1

Do m, n là số nguyên nên m – 10 = n – 10 = 1 hoặc m – 10 = n – 10 = – 1

Hay m = n = 11 hoặc m = n =9.

Khi m = n = 11 thì a = 12

Khi m = n = 9 thì a = 8

Vậy a = 12 hoặc a = 8.