Tìm a để hàm số f ( x ) = { x 2 − 1 x − 1 k h i x ≠ 1 a k h i x = 1 có đạo hàm tại x = 1.

23/30

Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại x = 1.

a = −2

a = 2

a = 1

\[{\rm{a}} = \frac{1}{2}\]

Giải thích

Để hàm số có đạo hàm của hàm số tại điểm x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1, tức là \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} = {\rm{a}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \left( {{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ = a}} \Leftrightarrow 2 = {\rm{a}}\]

Khi đó hàm số có dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{2\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{1}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{1}} \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{\frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{\rm{x}} - 1}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{{{\rm{x}} + 1 - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 1\]

Vậy a = 2.

Đáp án cần chọn là: B