a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có \(2\) đường tiệm cận đứng và \(x = - 1\) và \(x = - 5\). Vậy câu a) sai.

b) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^3} - 5{x^2} - 11x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^3} - 5{x^2} - 11x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = - \infty \]. Dẫn đến \(y = x\) không là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).Vậy câu b) sai.

c) Đặt \(t = 6 - 4{\sin ^2}x \Rightarrow 2 \le t \le 6.\) Từ đó \[y = \frac{{{t^2} - 6t + 5}}{{{t^2} + 6t + 5}}\], với \(t \in \left[ {2;6} \right].\)

Ta có \[{y^/} = \frac{{12{t^2} - 60}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 5} \right)}^2}}}.\] Xét \[{y^/} = 0 \Leftrightarrow 12{t^2} - 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \sqrt 5 \,\,\left( l \right)\\t = \sqrt 5 \,\,\,\,\left( n \right)\end{array} \right.\]

\(y\left( 2 \right) = \frac{{ - 1}}{7},y\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{3\sqrt 5 - 7}}{2},y\left( 6 \right) = \frac{5}{{77}}.\) Suy ra \(M = \frac{5}{{77}};\,\,\,\,m = \frac{{3\sqrt 5 - 7}}{2}\) hay \(77M + 2m = 3\sqrt 5 - 2.\) Vậy câu c) đúng.

d) \[h\left( x \right) = g\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right) \Rightarrow {h^/}\left( x \right) = \frac{{12{x^2} - 60}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 5} \right)}^2}}}.{g^/}\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right)\]

Xét \[{h^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{12{x^2} - 60}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 5} \right)}^2}}} = 0\left( 1 \right)\\{g^/}\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 12{x^2} - 60 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 .\]

Dựa vào đồ thị của hàm số \[y = {g^/}\left( x \right)\] ta có \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = - 1\,\,\,\left( 3 \right)\\\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 1\,\,\,\left( 4 \right)\\\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 4\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right.\]

Giải \[\left( 3 \right)\]: \[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = - 1 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = - {x^2} - 6x - 5 \Leftrightarrow 2{x^2} + 10 = 0\] (vô nghiệm)

Giải \[\left( 4 \right)\]: \[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 1 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = {x^2} + 6x + 5 \Leftrightarrow x = 0\,\left( n \right)\].

Giải \[\left( 5 \right)\]: \[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 4 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = 4{x^2} + 24x + 20 \Leftrightarrow 3{x^2} + 30x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5 + 2\sqrt 5 \,\,\left( n \right)\\x = - 5 - 2\sqrt 5 \,\,\left( n \right)\end{array} \right.\]

Dẫn đến hàm số \[y = h\left( x \right)\] có \(5\) điểm cực trị. Vậy câu d) đúng.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng