Theo 2 giả thiết đề bài cho ta có:

\[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^2}\]

⇔ 100 ≤ \[{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^2}\]≤ 999

⇔ 10 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 31 (1)

\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]

⇔ 10000 ≤ \[{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]≤ 99999

⇔ 22 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 46 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 22 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 31

Lại có:

\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]

⇔\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \, + \left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)\, = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]

⇔\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \, = \left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\]

Ta thấy: \[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \,\] chia hết cho 100 nên \[\left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\] chia hết cho 100. Mà \[\left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\]là 3 số tự nhiên liên tiếp nên để chia hết cho 100 thì khi và chỉ khi có 1 số chia hết cho 25.

Suy ra: \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 24 hoặc \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 25 hoặc \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 26

Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 24 ta có số: 57613824.

Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 25 ta có số: 62515625.

Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 26, không thỏa mãn.

Vậy số cần tìm là 57613824; 62515625.

Thu gọn tổng sau A = 2 + 2^2 + 2^3 + + 2^100