Thống kê điểm thi khảo sát đầu năm môn Toán của hai lớp 12A và 12B, ta thu được kết quả như bảng sau:

a) Sai. Lớp 12A có điểm nằm trong các nhóm từ \(\left[ {6;7} \right)\) đến \(\left[ {9;10} \right)\). Khoảng biến thiên dựa trên các nhóm có tần số lớn hơn 0 là từ giá trị nhỏ nhất có thể \(6\) đến giá trị lớn nhất \(10\), độ dài là \(10 - 6 = 4\).

Lớp 12B có điểm nằm trong các nhóm từ \(\left[ {5;6} \right)\) đến \(\left[ {8;9} \right)\). Khoảng biến thiên là \(9 - 5 = 4\). Khoảng biến thiên của hai lớp bằng nhau, nên không thể kết luận lớp 12A phân tán hơn chỉ dựa vào khoảng biến thiên.

b) Đúng. Tính khoảng tứ phân vị lớp 12A: Tổng số học sinh \(n = 0 + 2 + 6 + 12 + 10 = 30\).

Vị trí tìm \({Q_1}\) là \(\frac{{30}}{4} = 7,5\). Nhóm chứa \({Q_1}\) là nhóm \(\left[ {7;8} \right)\) vì tích lũy đến nhóm này là \(2 + 6 = 8\).

Ta có: \[{Q_1} = 7 + \frac{{7,5 - 2}}{6} \times 1 \approx 7,917\].

Vị trí tìm \({Q_3}\) là \(3 \times 7,5 = 22,5\). Nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm \(\left[ {9;10} \right)\). Ta có: \({Q_3} = 9 + \frac{{22,5 - 20}}{{10}} \times 1 = 9,25\).

Khoảng tứ phân vị lớp 12A: \({{\rm{\Delta }}_{{Q_A}}} = {Q_3} - {Q_1} \approx 9,25 - 7,917 = 1,333 > 1\).

c) Sai. Tính khoảng tứ phân vị lớp 12B: Tổng số học sinh \(n' = 2 + 12 + 10 + 6 + 0 = 30\).

Vị trí tìm \({Q_1}^\prime \) là \(7,5\), thuộc nhóm \(\left[ {6;7} \right)\). Ta có \({Q_1}^\prime = 6 + \frac{{7,5 - 2}}{{12}} \times 1 \approx 6,458\).

Vị trí tìm \({Q_3}^\prime \) là \(22,5\), thuộc nhóm \(\left[ {7;8} \right)\). Ta có \({Q_3}^\prime = 7 + \frac{{22,5 - 14}}{{10}} \times 1 = 7,85\).

Khoảng tứ phân vị lớp 12B: \({{\rm{\Delta }}_{{Q_B}}} \approx 7,85 - 6,458 = 1,392\).

So sánh: \(1,333 < 1,392 \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_{{Q_A}}} < {{\rm{\Delta }}_{{Q_B}}}\).

d) Sai. Nhìn trực quan vào bảng, điểm số của lớp 12A tập trung chủ yếu ở các nhóm cao \(\left[ {8;9} \right)\) và \(\left[ {9;10} \right)\) trong khi lớp 12B tập trung ở các nhóm thấp hơn là \(\left[ {6;7} \right)\) và \(\left[ {7;8} \right)\). Do đó điểm trung bình của lớp 12A chắc chắn lớn hơn lớp 12B.

Tính toán kiểm tra:

\({\bar x_A} = \frac{{2 \cdot 6,5 + 6 \cdot 7,5 + 12 \cdot 8,5 + 10 \cdot 9,5}}{{30}} = 8,5\);

\({\bar x_B} = \frac{{2 \cdot 5,5 + 12 \cdot 6,5 + 10 \cdot 7,5 + 6 \cdot 8,5}}{{30}} \approx 7,2\).

Vậy điểm trung bình của lớp 12A lớn hơn lớp 12B.