Thể tích khối chóp S . A B C là

11/22

Cho hình chóp \[S.ABC\], đáy ABC có \[AB = 10{\rm{ cm}}\], \[BC = 12{\rm{ cm}}\], \[AC = 14{\rm{ cm}}\], các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau và đều bằng \[\alpha \] thỏa mãn \[\tan \alpha = 3\]. Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là

\[228{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\].

\[576{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\].

\[192{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\].

\[384{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\].

Giải thích

N (ảnh 1)

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là:

\[p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = 18\,\,{\rm{(cm)}}\].

Theo công thức Heron, diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 24\sqrt 6 \) (cm2).

Các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau nên hình chiếu của S trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là tâm \(I\) của đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\].

Kẻ \(IM \bot BC\) tại \(M\), từ đó suy ra \(BC \bot SM\).

Do đó, \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,\,IM} \right) = \widehat {SMI} = \alpha \).

Lại có, diện tích tam giác \(ABC\) là: \[S = p \cdot r \Rightarrow IM = r = \frac{S}{p} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\,\,{\rm{(cm)}}\].

\[\Delta SIM\] vuông tại I có \[SI = IM\tan \alpha = \frac{{4\sqrt 6 }}{3} \cdot 3 = 4\sqrt 6 \,\,{\rm{(cm)}}\].

Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot S \cdot SI = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt 6 \cdot 4\sqrt 6 = 192\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\]. Chọn C.