Thể tích của khối lăng trụ A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ là

12/22

Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) đáy là hình thang cân ABCD có \(AC \bot BD,AC = 2a\), cạnh \(AA'\) tạo với mặt phẳng đáy góc \(60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho \(AH = \frac{1}{3}HC\). Thể tích của khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) là

\(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

\(2{a^3}\sqrt 3 \).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

\({a^3}\sqrt 3 \).

Giải thích

V (ảnh 1)

Ta có ABCD là hình thang cân \( \Rightarrow AC = BD = 2a\).

Vì \(AC \bot BD\) nên \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = 2{a^2}\).

Ta có \(AH = \frac{1}{3}HC \Rightarrow AH = \frac{1}{4}AC = \frac{a}{2}\).

Do \(A'H \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {AA',\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {A'AH} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(A'HA\) vuông tại H có \(A'H = AH \cdot \tan \widehat {A'AH} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}} \cdot A'H = 2{a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 3 \). Chọn D.