Thể tích của khối đa diện PQRABMN bằng

85/150

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 6. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CB,CA và P,Q,R lần lượt là tâm các hình bình hành ABB'A', BCC'B', CAA'C'. Thể tích của khối đa diện PQRABMN bằng:

Giải thích

Đáp án D

Phương pháp giải: - Gọi P',Q',R' lần lượt là giao điểm của mặt phẳng PQR với các cạnh CC',AA',BB'.

Chứng minh P',Q',R' tương ứng là trung điểm của các cạnh CC',AA',BB', đồng thời P,Q,R lần lượt là trung điểm của các cạnh Q'R',R'P',P'Q'.

- Đặt V=VABC.Q'R'P', tính VB.R'PQ, VA.Q'PR, VCMN.P'QR theo V.

- Tính VPQRABMN=V−VB.R'PQ−VA.Q'PR−VCMN.P'QR theo V.

- Tính V và suy ra VPQRABMN.

Giải chi tiết:

Gọi P',Q',R' lần lượt là giao điểm của mặt phẳng PQR với các cạnh CC',AA',BB'.

Dễ dàng chứng minh được P',Q',R' tương ứng là trung điểm của các cạnh CC',AA',BB', đồng thời P,Q,R lần lượt là trung điểm của các cạnh Q'R',R'P',P'Q'.

Đặt V=VABC.Q'R'P'.

Ta có: SR'PQ=14SR'Q'P' nên VB.R'PQ=14VB.R'Q'P'=14.13V=112V.

Tương tự ta có: VA.Q'PR=112V.

Ta có: SMNC=SQRP'=14SABC nên VCMN.P'QR=V4.

Vậy VVPQRABMN=V−VB.R'PQ−VA.Q'PR−VCMN.P'QR=V−2.V12−V4=7V12=72.12.12.6=21.