Tháp giải nhiệt tại nhà máy Nhiệt điện Phả Lại (Tỉnh Hải Dương, Việt Nam) có mặt cắt qua trục theo phương thẳng đứng là một hình hypebol ( H ) .
16/22
Tháp giải nhiệt tại nhà máy Nhiệt điện Phả Lại (Tỉnh Hải Dương, Việt Nam) có mặt cắt qua trục theo phương thẳng đứng là một hình hypebol \(\left( H \right)\). Tháp có chiều cao là 120 mét, bán kính đáy dưới bằng 40 mét. Một nhóm kỹ sư đã thiết lập hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận \(Ox,\,\,Oy\) làm các trục đối xứng, lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết rằng đoạn giao nhau giữa trục \(Ox\) với tháp bằng 30 mét và gốc \(O\) ở vị trí có độ cao 80 mét so với mặt đất.
[NB] Diện tích đáy dưới của tháp bằng \(5027\,{m^2}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
[TH] Các điểm \(\left( { - 20;0} \right),\,\,\left( {20;0} \right)\) thuộc hypebol \(\left( H \right)\).
[TH] Phương trình \(\left( H \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{15}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{11520}} = 1\).
[TH] Thể tích của tháp giải nhiệt này bằng \(214414\,{m^3}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Đúng.
Bán kính đáy bằng \(40\,m\) nên diện tích phần đáy dưới là \(S = \pi {.40^2} = 1600\pi \approx 5027\,\left( {{m^2}} \right)\).
b) Sai.
Vì đoạn giao nhau giữa \(Ox\) là tháp bằng 30 mét, \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm giao nhau đấy nên tọa độ các điểm thuộc hypebol là \(\left( { - 15;0} \right),\,\,\left( {15;0} \right)\).
c) Sai.
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Hypebol đi qua điểm \(\left( {15;0} \right)\) nên \(a = 15\). Khi đó \(\frac{{{x^2}}}{{{{15}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Vì đáy dưới có bán kính bằng \(40\,m\), gốc \(O\) cách mặt đất \(80\,m\) nên hypebol đi qua điểm \(A\left( {40; - 80} \right)\). Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình chính tắc trên ta có:
\(\frac{{{{40}^2}}}{{225}} - \frac{{{{\left( { - 80} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{11520}}{{11}}\).
Vậy \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{11520}}{{11}}}} = 1\).
d) Đúng.
Ta có độ dài từ \(O\) đến nóc tháp là \(40\,m\).
Ta có \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{11520}}{{11}}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{225}} = 1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}} \Rightarrow {x^2} = 225\left( {1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}}} \right)\).
Xét \(x = f\left( y \right)\).
Thể tích của tháp là thể tích khối tròn xoay (quay quanh trục \(Oy\)): \(V = \pi \int\limits_{ - 80}^{40} {{f^2}\left( y \right)} dy = \pi \int\limits_{ - 80}^{40} {225\left( {1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}}} \right)dy} = 68250\pi \approx 214414\,\left( {{m^3}} \right)\).