Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+1|=|1-i-2z|  là đường tròn

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(M\left( {a;b} \right)\).

Giải chi tiết:

Gọi \(z = a + bi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(M\left( {a;b} \right)\).

Ta có: |z+1|=|1-i-2⁢z|⇔|a+b⁢i+1|=|1-i-2⁢a-2⁢b⁢i|⇔(a+1)2+b2⁢ =(1-2⁢a)2+(1+2⁢b)2

\( \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {1 + 2b} \right)^2} \Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} - 6a + 4b + 1 = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2a + \frac{4}{3}b + \frac{1}{3} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \left| {1 - i - 2z} \right|\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt {10} }}{3}\).