Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y=x^3+6x^2+3(m+2)x-m-1

78/100

Tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 1\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2}\) là

\(( - \infty ;1)\)

\((1; + \infty )\).

\((1;2)\).

\(( - \infty ;2)\).

Giải thích

Ta có \(y' = 3{x^2} + 12x + 3\left( {m + 2} \right);y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m + 2 = 0\,\,\left( {\rm{*}} \right)\).

Hàm số có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2} \Leftrightarrow \) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = 4 - \left( {m + 2} \right) > 0}\\{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{m < 1}\end{array} \Leftrightarrow m < 1} \right.\)