Tập hợp các giá trị của m để hàm số y = -mx^3 + x^2 - 3x + m - 2 nghịch biến trên khoảng

16/150

Tập hợp các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = - m{x^3} + {x^2} - 3x + m - 2\) nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\] là

\(\left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right).\)

\(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right).\)

\(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right).\)

\(\left[ { - \frac{1}{3};0} \right).\)

Giải thích

Ta có: \(y' = - 3m{x^2} + 2x - 3\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\] nên \(y' \le 0 \Leftrightarrow - 3m{x^2} + 2x - 3 \le 0\,,\,\,\forall x \in \left( { - 3\,;\,\,0} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}} = f\left( x \right)\,,\,\,\forall x \in \left( { - 3\,;\,\,0} \right)\)\( \Leftrightarrow m \ge {\max _{\left( { - 3\,;\,\,0} \right)}}f\left( x \right).\)

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {3 - x} \right)}}{{3{x^3}}} < 0\,,\,\,\forall x \in \left( { - 3\,;\,\,0} \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 3\,;\,\,0} \right).\]

Do đó \(f\left( x \right) < f\left( { - 3} \right) = - \frac{1}{3} \Rightarrow {\max _{\left( { - 3\,;\,\,0} \right)}}f\left( x \right) = - \frac{1}{3} \Rightarrow m \ge - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m \in \left[ { - \frac{1}{3}\,;\,\, + \infty } \right){\rm{. }}\)Chọn A.