Tang góc giữa hai vectơ −−→ B S và −−→ G C bằng √ 10 .

13/22

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tứ diện \(S.ABC\) có ba cạnh \(SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC\) đôi một vuông góc với nhau và \(SA = 2,\)\(SB = 2,SC = 3\). Gọi điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

a) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

b) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {GS} \).

c)Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {CG} \) bằng \(\frac{4}{3}\).

d) Tang góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BS} \)và \(\overrightarrow {GC} \) bằng \(\sqrt {10} \).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

c (ảnh 1)

Điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó, \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {SG} \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có:

\(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {SA} \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA} \cdot \left( {\overrightarrow {CS} + \overrightarrow {SM} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {CS} + \frac{2}{3}\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SM} \).

Vì \(SA \bot SC\) nên \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {CS} = 0\).

Ta có \(\frac{2}{3}\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SM} = \frac{2}{3}SA \cdot SM \cdot \cos \widehat {ASM} = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{4}{3}\).

Do đó, \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {CG} = \frac{4}{3}\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\), ta có: \(\overrightarrow {BS} = 2\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {GC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MC} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BS} ,\,\overrightarrow {GC} } \right) = \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {MC} } \right) = \widehat {CMN}.\)

Ta có \(MN{\rm{//}}SB,\,SA \bot SB\) nên \(MN \bot SA\). Lại có \(MN \bot SC\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\).

Do đó, \(MN \bot \left( {SAC} \right)\). Suy ra \(MN \bot CN\).

Tam giác \(CNM\) vuông tại \(N\) nên \(\tan \widehat {CMN} = \frac{{CN}}{{MN}} = \frac{{\sqrt {10} }}{1} = \sqrt {10} \).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.