Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc BAC = 30°. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải

Gọi E là giao điểm của BM và CN.

Ta có công thức đường trung tuyến:

\(C{N^2} = \frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow C{E^2} = \frac{4}{9}C{N^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}} \right)\)

\(B{M^2} = \frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{C{A^2}}}{4} = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow B{E^2} = \frac{4}{9}B{M^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\)

Trong tam giác ABC có: BM ^ CN nên tam giác CEB vuông tại E

Þ CE² + BE² = BC²

\( \Rightarrow \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right) = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{9}{b^2} + \frac{1}{9}{c^2} + \frac{4}{9}{a^2} = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow 5{a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Tam giác ABC có:

a² = b² + c² − 2bc.cos A = 5a² − 2bc.cos A

\( \Rightarrow bc = \frac{{2{a^2}}}{{\cos A}}\).

Khi đó:\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.\frac{{2{a^2}}}{{\cos A}}.\sin A\)

\( = {a^2}.\tan A = {a^2}.\tan 30^\circ = 3\sqrt 3 \).