Tam giác A D E cân tại A .

a) Đúng.

Vì \(BE,\;CD\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(BE \bot AC,\;CD \bot AB.\)

Do đó, \(\widehat {BEC} = \widehat {BEA} = \widehat {ADC} = \widehat {BDC} = 90^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC,\;\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Tam giác \(ACD\) và tam giác \(ABE\) có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BEA} = 90^\circ ,\;AB = AC,\;\widehat A\) chung.

Do đó, \(\Delta ACD = \Delta ABE\;\left( {ch - gn} \right).\) Suy ra, \(AD = AE\) nên tam giác \(ADE\) cân tại \(A.\)

b) Sai.

\(\Delta ABC\) có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat A = 180^\circ \) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ABC} + \widehat A = 180^\circ .\)Do đó, \(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\;\left( 1 \right).\)

Vì tam giác \(ADE\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}.\)

Mà \(\widehat {ADE} + \widehat {AED} + \widehat A = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {ADE} + \widehat {ADE} + \widehat A = 180^\circ \) nên \(\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}.\)

c) Đúng.

Vì \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC,}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\;{\rm{//}}\;BC.\)

d) Đúng.

Tứ giác \(BDEC\) có: \(DE\;{\rm{//}}\;BC\) nên tứ giác \(BDEC\) là hình thang.

Mà \(\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\) nên tứ giác \(BDEC\) là hình thang cân.