Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số

a) Hàm số \({\rm{B}}({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của hàm số \(B(t)\).

Ta có \(\int {{B^\prime }} (t)dt = \int {\left( {20{t^3} - 300{t^2} + 1000t} \right)} dt\)\( = \int 2 0{t^3}dt - \int 3 00{t^2}dt + \int 1 000tdt.\)

Suy ra \(B(t) = 5{t^4} - 100{t^3} + 500{t^2} + C\).

Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên \(B(1) = 500\).

Do đó, \(5 \cdot {1^4} - 100 \cdot {1^3} + 500 \cdot {1^2} + C = 500\), suy ra \(C = 95\).

Vậy công thức của hàm số \({\rm{B}}({\rm{t}})\) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là

\(B(t) = 5{t^4} - 100{t^3} + 500{t^2} + 95(0 \le t \le 15).\)

b) Ta có \(B(3) = 5 \cdot {3^4} - 100 \cdot {3^3} + 500 \cdot {3^2} + 95 = 2300\).

Vậy sau 3 giờ có 2300 khách tham dự lễ hội.

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{B}}({\rm{t}})\) trên đoạn [0;15].

Ta có \({B^\prime }({\rm{t}}) = 20{{\rm{t}}^3} - 300{{\rm{t}}^2} + 1000{\rm{t}}\).

Trên khoảng \((0;15),{B^\prime }({\rm{t}}) = 0\) khi \(t = 5\) hoặc \({\rm{t}} = 10\).

\(B(0) = 95;B(5) = 3220;B(10) = 95;B(15) = 28220.{\rm{ }}\)

Do đó, \({\max _{[0;15]}}B(t) = 28220\) tại \(t = 15\).

Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách sau 15 giờ.

d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số \({B^\prime }({\rm{t}})\) trên đoạn [0 ; 15].

Ta có \({B^{\prime \prime }}(t) = {\left( {20{t^3} - 300{t^2} + 1000t} \right)^\prime } = 60{t^2} - 600t + 1000\).

Trên khoảng \((0;15),{{\rm{B}}^{\prime \prime }}({\rm{t}}) = 0\) khi \(t = \frac{{15 - 5\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \(t = \frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3}\).

\({{\rm{B}}^\prime }(0) = 0;B\left( {\frac{{15 - 5\sqrt 3 }}{3}} \right) \approx 962,25;B\left( {\frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3}} \right) \approx  - 962,25;{\rm{B}}(15) = 15000.{\rm{ }}\)

Do đó, \({\max _{[0;15]}}{B^\prime }(t) = 15000\) tại \(t = 15\).