Tại một cửa sông, các nhà khoa học quan sát thấy mực nước lên xuống có tính chu kỳ nhưng hình dạng sóng khá phức tạp do sự giao thoa của các dòng chảy. Trong một chu kỳ khảo sát kéo dài 1 giờ

26/40

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).Tại một cửa sông, các nhà khoa học quan sát thấy mực nước lên xuống có tính chu kỳ nhưng hình dạng sóng khá phức tạp do sự giao thoa của các dòng chảy. Trong một chu kỳ khảo sát kéo dài 1 giờ, mực nước tại đây được mô hình hóa theo phương trình \(y = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi x} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi x} \right)\), trong đó \(x\)(giờ) là thời gian tính từ thời điểm bắt đầu khảo sát \(\left( {0 \le x \le 1} \right)\), \(y\left( m \right)\)là độ cao mực nước so với mức chuẩn. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. \(y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0\).

2. Ta có đạo hàm \(y' = \cos \left( {2\pi x} \right) + \cos \left( {4\pi x} \right)\).

3. Trong 1 giờ khảo sát, tốc độ thay đổi của mực nước bằng 0 tại 2 thời điểm.

4. Trong chu kì này, mực nước cao nhất bằng 0,65 m (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Giải thích

1. Đúng. \(y\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi \cdot 0} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi \cdot 0} \right) = 0\); \(y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi \cdot 1} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi \cdot 1} \right) = 0\).

Vậy \(y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0\).

2. Sai. Ta có \(y' = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \cos \left( {2\pi x} \right) + \frac{1}{4} \cdot 4\pi \cdot \cos \left( {4\pi x} \right) = \pi \left[ {\cos \left( {2\pi x} \right) + \cos \left( {4\pi x} \right)} \right]\).

3. Sai. Tốc độ thay đổi của mực nước bằng 0 khi \(y' = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2\pi x} \right) + \cos \left( {4\pi x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {4\pi x} \right) = - \cos \left( {2\pi x} \right)\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {4\pi x} \right) = \cos \left( {\pi - 2\pi x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4\pi x = \pi - 2\pi x + k2\pi \\4\pi x = - \left( {\pi - 2\pi x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{6} + \frac{k}{3}\\x = - \frac{1}{2} + k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {0;1} \right]\), các giá trị \(x\)thỏa mãn là \(x = \frac{1}{6};x = \frac{1}{2};x = \frac{5}{6}\).

Vậy có 3 thời điểm tốc độ bằng 0.

4. Đúng. Ta có \(y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0\);

\(y\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi \cdot \frac{1}{6}} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi \cdot \frac{1}{6}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{8} \approx 0,65\) m;

\(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\sin \pi + \frac{1}{4}\sin 2\pi = 0\);

\(y\left( {\frac{5}{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi \cdot \frac{5}{6}} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi \cdot \frac{5}{6}} \right) = - \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\).

Vậy độ cao lớn nhất là khoảng 0,65 m tại thời điểm \(x = \frac{1}{6}\) giây. Chọn 1, 4.