Số giá trị nguyên của m thuộc nửa khoảng ( − 100 ; 100 ] để hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0 ; 3 ) là

8/22

Cho hàm số bậc năm $y = f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ là đường cong trong hình vẽ dưới đây

$Chọn B Đặt $t = - {x^3} - x + m + 3$. Ta có $t' = - 3{x^2} - 1 < 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)$ (ảnh 1)$

Xét hàm số $g\left( x \right) = 3f\left( { - {x^3} - x + m + 3} \right) + \left( {{x^3} + x - m - 3} \right){\left( {{x^3} + x - m} \right)^2},m$ là tham số. Số giá trị nguyên của $m$ thuộc nửa khoảng $\left( { - 100;100} \right]$ để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ là

$167$.

$168$.

$169$.

$166$.

Giải thích

Chọn B

Đặt $t = - {x^3} - x + m + 3$. Ta có $t' = - 3{x^2} - 1 < 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)$

Suy ra $t$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

Với $x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$.

Hàm số $g\left( x \right)$ trở thành $h\left( t \right) = 3f\left( t \right) - t{(3 - t)^2} \Leftrightarrow h\left( t \right) = 3f\left( t \right) - {t^3} + 6{t^2} - 9t$

Ta có $h'\left( t \right) = 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 12t - 9$

Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow h\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {m - 27;m + 3} \right)$

$ \Leftrightarrow h'\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right) \Leftrightarrow 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 12t - 9 \le 0,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$.

$ \Leftrightarrow f'\left( t \right) \le {t^2} - 4t + 3,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$

Vẽ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và đồ thị hàm số $y = {t^2} - 4t + 3$ trên cùng hệ trục tọa độ ta được:

$Chọn B Đặt $t = - {x^3} - x + m + 3$. Ta có $t' = - 3{x^2} - 1 < 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)$ (ảnh 2)$

$f'\left( t \right) \le {t^2} - 4t + 3,\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \le 0}\\{t \ge 3}\end{array},\forall t \in \left( {m - 27;m + 3} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 3 \le 0}\\{m - 27 \ge 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le - 3}\\{m \ge 30}\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Kết hợp điều kiện $m \in \left( { - 100;100} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 100 < m \le - 3}\\{30 \le m \le 100}\end{array}} \right.$

Vậy có $168$ giá trị nguyên của $m \in \left( { - 100;100} \right]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.