Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-2024; 2025] để bất phương trình f(x^2+1) + f(-mx^2) > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc (- vô cùng;0) là gì?

Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\).

Khi đó bất phương trình \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + f\left( { - \frac{{mx}}{2}} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 1} \right) >  - f\left( { - \frac{{mx}}{2}} \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 1} \right) > f\left( {\frac{{mx}}{2}} \right)\).

\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 > \frac{{mx}}{2}\).

Yêu cầu bài toán tương đương với \(m > 2x + \frac{2}{x},\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right)\)\( \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} \left( {2x + \frac{2}{x}} \right) \Leftrightarrow m >  - 4\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left[ { - 2024;2025} \right]\) nên suy ra có 2029 giá trị m thỏa mãn. Chọn B.