Số đo góc giữa đường thẳng S C và mặt phẳng ( S A B ) là

4/22

Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(2a\). Biết \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)và \(SA = a\sqrt 2 \). Số đo góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là

\(30^\circ \).

\(45^\circ \).

\(60^\circ \).

\(90^\circ \).

Giải thích

v (ảnh 1)

Ta kẻ \(CH \bot AB,\,H \in \,AB\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right)\).

Vậy \(SH\) là hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Khi đó \(\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,\,SH} \right) = \widehat {CSH}\).

Ta có \[CH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \], \(SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) ta có: \(\tan \widehat {CSH} = \frac{{CH}}{{SH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {CSH} = 45^\circ \).

Vậy \(\left( {SC,\,\left( {SAB} \right)} \right) = 45^\circ \). Chọn B.