Số đo góc giữa đường thẳng S B và mặt phẳng ( S A C ) bằng bao nhiêu độ?

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta kẻ \(BH \bot AC,\,H \in \,AC\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right).\)

Suy ra \(SH\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Khi đó \(\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,\,SH} \right) = \widehat {BSH}\).

Ta có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \frac{{4a\sqrt {15} }}{{15}},\,\,\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét tam giác \(SHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(\sin \widehat {BSH} = \frac{{BH}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {BSH} = 60^\circ \).

Vậy \(\left( {SB,\,\left( {SAC} \right)} \right) = 60^\circ \).

Đáp án: \[60\].