S O ⊥ ( A B C D ) .

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

H là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) thì \(MH\,{\rm{//}}\,SO\) và \(H \in BD\).

Mặt khác\(M\) là trung điểm của \(SD\) nên \(MH = \frac{1}{2}SO\) và \(H\) là trung điểm của \(OD\).

Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SAO}\).

Vì \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {MBH}\).

Ta có \(SO = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(MH = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\), \(BH = \frac{3}{4}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).

Khi đó \(\tan \widehat {MBH} = \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{1}{3}\).

Vậy tan của góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{1}{3}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,         c) Đúng,      d) Đúng.