S H ⊥ ( A B C D ) .

14/22

Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,\,\,M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,SA\) và \(CD\).

a) \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

c) Gọi \(\alpha \) là số đo góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Khi đó \(\cos \alpha = - \frac{1}{5}\).

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SN\) bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

C (ảnh 1)

Vì tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích hình thoi \(ABCD\):

\({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = 2 \cdot \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\): \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\).

Dễ thấy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = BC = a \Rightarrow \)các tam giác \(SAC\) và \(SBC\) lần lượt cân tại \(A\) và \(B\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot AI\\SC \bot BI.\end{array} \right.\)

Suy ra \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\).

Ta có \(S{C^2} = S{H^2} + C{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow S{I^2} = I{C^2} = \frac{{3{a^2}}}{8}\).

Suy ra \(I{A^2} = S{A^2} - S{I^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\). Tương tự \(I{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).

Do đó \(\cos \alpha = \cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot IA \cdot IB}} = \frac{1}{5}\).

Ta có \(\Delta ACD\)đều \( \Rightarrow AN \bot CD \Rightarrow AN \bot AB \Rightarrow AN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAN} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow BM \bot SA \Rightarrow BM \bot \left( {SAN} \right)\).

Dựng \(MK \bot SN\) tại \(K \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(BM\) và \(SN\).

Suy ra \(MK = d\left( {BM,SN} \right)\).

Ta có \(MK = MS \cdot \sin \widehat {MSK} = MS \cdot \frac{{AN}}{{SN}} = MS \cdot \frac{{AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {BM,SN} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.