S H ⊥ ( A B C ) .

15/22

Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy và tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a\) và điểm \(H\) là trung điểm \(AB\). Biết tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) và cạnh \(AC = a\sqrt 3 \).

a) \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

b)\(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = a\sqrt 3 \).

c)\(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

d) \[d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

C (ảnh 1)

Ta có \(H\) là trung điểm \(AB\), mà tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Ngoài ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Khi đó, \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (do tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a)\).

Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CK \bot AB}\\{CK \bot SH}\end{array} \Rightarrow CK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK} \right.\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}} = a;CK = \frac{{CA \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(H\) là trung điểm \(AB\) nên gọi \(M\) là trung điểm \(AC\), kẻ \(HI \bot SM\) tại \(I\), ta có:

\(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = 2HI\).

Ta có \(SH = a\sqrt 3 \,,\,HM = \frac{a}{2}\), \(HI = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Khi đó \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = 2HI = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.