Rút gọn với

18/20

Rút gọn \[{\rm{S}} = 1 + {\cos ^2}{\rm{x}} + {\cos ^4}{\rm{x}} + {\cos ^6}{\rm{x}} + .... + {\cos ^{2{\rm{n}}}}{\rm{x}} + ...\]với\[\cos {\rm{x}} \ne \pm 1\]

\[{\rm{S}} = {\sin ^2}{\rm{x}}\]

\[{\rm{S}} = {\cos ^2}{\rm{x}}\]

\[{\rm{S}} = \frac{1}{{\sin {\rm{x}}}}\]

\[{\rm{S}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{\rm{x}}}}\]

Giải thích

Vì \[ - 1 \le \cos {\rm{x}} \le 1,\,\cos {\rm{x}} \ne \pm 1 \Rightarrow - 1 < \cos {\rm{x}} < 1\]

Do đó \[1,\,{\cos ^2}{\rm{x}},{\cos ^4}{\rm{x}},{\cos ^6}{\rm{x}},....,{\cos ^{2{\rm{n}}}}{\rm{x}},...\]là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \[{\cos ^2}{\rm{x}}.\].

Do đó:

\[{\rm{S}} = 1 + {\cos ^2}{\rm{x}} + {\cos ^4}{\rm{x}} + {\cos ^6}{\rm{x}} + .... + {\cos ^{2{\rm{n}}}}{\rm{x}} + ... = \frac{1}{{1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}{\rm{x}}}}\]

Đáp án cần chọn là: C