Rút gọn biểu thức A .

a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - 2 \cdot \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

 \[ = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 - 2\sqrt x + 2}}{{x - 1}}\]\( = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}.\)

Vậy với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) thì \(A = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}.\)

b) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\), ta có: \(A = \frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 1 + \frac{4}{{x - 1}},\) biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên khi \(\frac{4}{{x - 1}}\) là số nguyên, suy ra \(x - 1\) là ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\) nên \(x - 1 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Lại có \(x \ge 0\) nên \(x - 1 \ge - 1.\) Do đó \(x - 1 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\,4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\(x - 1\)	1	\[ - 1\]	2	4
\(x\)	2	0	3	5

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) suy ra \(x = 0;\,\,x = 2;\,\,x = 3;\,\,x = 5.\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}\) thì biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên.