Quan sát một đàn ong trong 20 tuần, người ta ước lượng được số lượng ong trong đàn bởi công thức P ( t ) = 20.000 /(1 + 1000 e^( − t))

20/22

Quan sát một đàn ong trong 20 tuần, người ta ước lượng được số lượng ong trong đàn bởi công thức \(P\left( t \right) = \frac{{20000}}{{1 + 1000{e^{ - t}}}}\), trong đó \(t\) là thời gian tính theo tuần kể từ khi bắt đầu quan sát, \(0 \le t \le 20\). Tại thời điểm nào thì số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất ?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Tốc độ thay đổi số lượng ong của đàn theo thời gian \(t\) là \(T\left( t \right) = P'\left( t \right) = {2.10^7} \cdot \frac{{{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{T'\left( t \right)}&{\; = 2 \cdot {{10}^7} \cdot \frac{{ - {e^{ - t}} \cdot {{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^2} - {e^{ - t}} \cdot 2 \cdot \left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( { - 1000{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^4}}}}\\{}&{\; = {{2.10}^7} \cdot \frac{{{e^{ - t}}\left( {1000{e^{ - t}} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 2 \cdot {{10}^7} \cdot \frac{{{e^{ - 2t}}\left( {1000 - {e^t}} \right)}}{{{{\left( {1 + 1000{e^{ - t}}} \right)}^3}}}}\end{array}\)

\(T'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1000 - {e^t} = 0 \Leftrightarrow t = {\rm{ln}}1000\).

Bảng xét dấu của đạo hàm:

Quan sát một đàn ong trong 20 tuần, người ta ướ (ảnh 1)

Từ đó, \(T\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = {\rm{ln}}1000 \approx 7\).

Vậy đàn ong tăng nhanh nhất tại thời điểm khoảng \(t = 7\) tuần.