Quả bóng bàn sử dụng trong thi đấu quốc tế là loại bóng nhựa Poly cao cấp, thân thiện với môi trường, độ bền cao và có dạng hình cầu (hình vẽ). Biết rằng đường kính của quả bóng bàn là 4 cm.
5/5
(1,0 điểm)
a) Quả bóng bàn sử dụng trong thi đấu quốc tế là loại bóng nhựa Poly cao cấp, thân thiện với môi trường, độ bền cao và có dạng hình cầu (hình vẽ). Biết rằng đường kính của quả bóng bàn là 4 cm. Tính thể tích của quả bóng bàn đó.
b) Người ta thiết kế một vật trang trí hình trụ bằng một loại chất liệu trong suốt, bên trong có một hình nón màu sắc rực rỡ. Biết rằng đỉnh hình nón là tâm đáy trên của hình trụ, đáy hình nón trùng với đáy dưới của hình trụ và đường sinh hình nón bằng 6 cm (tham khảo hình vẽ). Hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích vật trang trí đó.
a) Bán kính của quả bóng bàn hình cầu là: \(R = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Thể tích của quả bóng bàn là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {2^3} = \frac{{32}}{3}\pi \approx 33,51\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Gọi bán kính đáy của hình trụ (cũng là của hình nón) là \(R\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\), với \(0 < R < 6.\)
Gọi chiều cao của hình trụ (cũng là chiều cao của hình nón) là \(h\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\), với \(0 < h < 6.\)
Xét hình nón, theo định lí Pythagore ta có mối liên hệ giữa đường sinh \(l\), bán kính \(R\) và chiều cao \(h\) như sau: \({R^2} + {h^2} = {l^2}\), do đó \({R^2} = 36 - {h^2}\).
Thể tích của vật trang trí hình trụ là: \({V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi \left( {36 - {h^2}} \right)h\)
\(V_{tru}^2 = {\pi ^2}{\left( {36 - {h^2}} \right)^2}{h^2}\)
\(V_{tru}^2 = \frac{1}{2}{\pi ^2}\left( {36 - {h^2}} \right) \cdot \left( {36 - {h^2}} \right) \cdot 2{h^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương là \(\left( {36 - {h^2}} \right),\,\,\left( {36 - {h^2}} \right),\,\,2{h^2}\) được:
\(\left( {36 - {h^2}} \right) \cdot \left( {36 - {h^2}} \right) \cdot \,2{h^2} \le {\left( {\frac{{36 - {h^2} + 36 - {h^2} + 2{h^2}}}{3}} \right)^3}\)
\(\left( {36 - {h^2}} \right) \cdot \left( {36 - {h^2}} \right) \cdot \,2{h^2} \le {24^3}\)
Suy ra \(\frac{1}{2}{\pi ^2}\left( {36 - {h^2}} \right) \cdot \left( {36 - {h^2}} \right) \cdot 2{h^2} \le \frac{1}{2}{\pi ^2} \cdot {24^3}\)
\(V_{tru}^2 \le 6\,\,912{\pi ^2}\)
Suy ra \({V_{tru}} \le \sqrt {6\,\,912{\pi ^2}} = 48\pi \sqrt 3 \).
Dấu “=” xảy ra khi \(36 - {h^2} = 2{h^2}\) suy ra \(h = 2\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (thỏa mãn)
Khi đó \(R = \sqrt {36 - {h^2}} = 2\sqrt 6 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích vật trang trí là \(48\pi \sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).