Phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) có tổng các nghiệm thuộc khoảng

9/150

Phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) có tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,\pi } \right)\) bằng

\(\frac{{7\pi }}{2}\).

\(\pi \).

\(\frac{{3\pi }}{2}\).

\(\frac{\pi }{4}\).

Giải thích

Ta có \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - x + 12\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + 1\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\,\,\left( {k,1 \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.\).

Họ nghiệm \(x = \pi + k2\pi \) không có nghiệm nào thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,\pi } \right)\).

\(x = \frac{\pi }{6} + 1\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0\,;\,\,\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + 1\frac{{2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow 1 \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,\pi } \right)\) là \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Từ đó suy ra tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,\pi } \right)\) của phương trình này bằng \(\pi \). Chọn B.