Phương trình log 2 (cotx-tanx) = 1+cos2x-sin2x với

Đáp án B

Do x∈0;π4 nên cotx>10<tanx<1⇒cotx−tanx>0.

cotx−tanx=cosxsinx−sinxcotx=2cos2xsin2x nên phương trình đã cho tương đương

log22cos2xsin2x=1+cos2x−sin2x 

⇔log2cos2x−log2sin2x=cos2x−sin2x (do 0<sin2x,cos2x<1,∀x∈0;π4)

⇔log2cos2x−cos2x=log2sin2x−sin2x

Xét hàm số ft=log2t−t với t∈0;1.

Ta có f't=1tln2−1>0,∀t∈0;1 (vì 0<t<1⇔0<tln2<ln2<lne=1)

⇒1tln2>1⇔1tln2−1>0

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;1).

Suy ra fcos2x=fsin2x⇔cos2x=sin2x⇔tan2x=1⇒x=π8.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=π8.