Đáp án: 6480.

Thời gian sản xuất:

+ Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: \(t\) phút.

+ Một chiếc mũ kiểu thứ hai: \(t' = \frac{t}{2}\) phút.

Trong 1 giờ sản xuất được 60 chiếc mũ kiểu thứ hai: \(t' = \frac{{60}}{{60}} = 1\) (phút/mũ).

Suy ra \(t = 2\) (phút/mũ).

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai sản xuất được mỗi ngày.

Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng \( = 480\) phút mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 480\\0 \le x \le 200\\0 \le y \le 240\end{array} \right.\) \(\left( I \right)\).

Tiền lãi:

+ Một chiếc mũ kiểu thứ nhất: 24 nghìn đồng.

+ Một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng.

Do đó tổng tiền lãi là \(P = 24x + 15y\).

Ta xét bài toán tìm \(x\), \(y\) để \(P = 24x + 15y\) đạt giá trị lớn nhất, với các điều kiện \(\left( I \right)\).

Biểu diễn các ràng buộc trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\): \(2x + y = 480\); \(x = 200\); \(y = 240\).

Miền nghiệm của \(\left( I \right)\) là miền ngũ giác \(OHIJK\) như hình vẽ dưới đây.

Tọa độ các đỉnh của ngũ giác \(OHIJK\) và tính giá trị tiền lãi:

+ \(O\left( {0;0} \right)\). Ta có \(P = 24 \cdot 0 + 15 \cdot 0 = 0\).

+ \(H\left( {200;0} \right)\). Ta có \(P = 24 \cdot 200 + 15 \cdot 0 = 4800\).

+ \(I\) là giao điểm của các đường \(2x + y = 480\) và \(x = 200\) nên \(I = \left( {200;80} \right)\).

\( \Rightarrow P = 24 \cdot 200 + 15 \cdot 80 = 6000\).

+ \(J\) là giao điểm của các đường \(2x + y = 480\) và \(y = 240\) nên \(J = \left( {120;240} \right)\).

\( \Rightarrow P = 24 \cdot 120 + 15 \cdot 240 = 6480\).

+ \(K\left( {0;240} \right)\). Ta có \[P = 24 \cdot 0 + 15 \cdot 240 = 3600\].

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng thu được trong một ngày là: 6480 nghìn đồng.

Phương trình f ′ ( x ) = 0 có một nghiệm x = 2 e .