Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(–2; 0) và tạo với đường thẳng d: x + 3y – 3 = 0 một góc 45° là: A. 2x – y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0; B. 2x + y + 4 = 0 hoặc x – 2y + 2 = 0;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm.

Ta có ∆ đi qua điểm A(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\Delta } = \left( {A;B} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của ∆ có dạng: A(x + 2) + B(y – 0) = 0.

⇔ Ax + By + 2A = 0.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1;3} \right)\).

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆ và d bằng 45°.

\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {1.A + 3.B} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt {5\left( {{A^2} + {B^2}} \right)} \)

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được: (A + 3B)² = 5(A² + B²)

⇔ A² + 6AB + 9B² = 5A² + 5B²

⇔ 4A² – 6AB – 4B² = 0    (1)

Trường hợp 1: B = 0.

Ta suy ra 4A² = 0. Khi đó A = 0.

Vì vậy ta loại trường hợp 1 vì A và B không thể đồng thời bằng 0.

Trường hợp 2: B ≠ 0.

Ta chia 2 vế của phương trình (1) cho B², ta được: \(4{\left( {\frac{A}{B}} \right)^2} - 6.\left( {\frac{A}{B}} \right) - 4 = 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\ - 2A = B\end{array} \right.\)

Với A = 2B, ta chọn B = 1. Suy ra A = 2.

Khi đó ta có phương trình ∆: 2x + y + 4 = 0.

Với B = –2A, ta chọn A = 1. Suy ra B = –2.

Khi đó ta có phương trình ∆: x – 2y + 2 = 0.

Vậy ta có 2 đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là 2x + y + 4 = 0 hoặc x – 2y + 2 = 0.

Do đó ta chọn phương án B.