Đặt t = cos x vì x ∈ [0;2π] Þ t ∈ [−1;1]

Đặt f(t) – 1 = v
Phương trình f(f(cos x) – 1) = 0 có dạng: f(v) = 0 (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị y = f(v) và đường thẳng y = 0

Từ đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình (*) là

\[\left[ \begin{array}{l}v = {a_1} \in ( - 2; - 1)\\v = {a_2} \in ( - 1;0)\\v = {a_3} \in (1;2)\end{array} \right.\]

Thay vào phần đặt ta có \[\left[ \begin{array}{l}f(t) - 1 = {a_1} \in ( - 2; - 1)\\f(t) - 1 = {a_2} \in ( - 1;0)\\f(t) - 1 = {a_3} \in (1;2)\end{array} \right.\]

Xét phương trình: f(t) – 1 = a₁ ∈ (−2;−1)

⇔ f(t) = (1 + a₁) ∈ (−1;0)

Đồ thị hàm số y = f(t) và đường thẳng y = 0 cắt nhau tại 3 điểm, chỉ có 1 điểm thỏa mãn có hành độ t ∈ (−1;0)

Nên phương trình f(t) – 1 = t₁ ∈ (−2;−1) có 1 nghiệm t ∈ (−1;0)

Xét phương trình: t = cos x với t ∈ (−1;0).

Từ đồ thị hàm số:

y = cos x, x ∈ [0;2π]

Þ t = cos xvới t ∈ (−1;0) có 2 nghiệm x

Tương tự phương trình:

f(t) – 1 = a₂ ∈ (−1;0)

⇔ f(t) = (1 + a₂) ∈ (0;1) có một nghiệm t ∈ (−1;0)

Þ t = cos xvới t ∈ (−1;0) có 2 nghiệm x

f(t) – 1 = a₃∈ (1;2)

⇔ f(t) = (1 + a₃) ∈ (2;3)không có nghiệm t ∈ [−1;1]

Vậy f(f(cos x) – 1) = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [0;2π].

Phát biểu định lý Talet