Gọi n₁ là số bài toán bạn An đã giải trong ngày đầu tiên;

n₂ là số bài toán bạn An đã giải trong hai ngày đầu;

n₃ là số bài toán bạn An đã giải trong ba ngày đầu;

n₄ là số bài toán bạn An đã giải trong bốn ngày đầu;

...

n₇₇ là số bài toán bạn An đã giải trong 77 ngày đầu (11 tuần).

Theo đề, ta có mỗi tuần bạn An giải không quá 13 bài toán.

Tức là, n₇₇ ≤ 11.13 = 143.

Ta xét tập hợp các số tự nhiên M = {n₁; n₂; n₃; ...; n₇₇; n₁ + 20; n₂ + 20; ...; n₇₇ + 20}.

Tập hợp M chứa 154 phần tử và phần tử lớn nhất là n₇₇ + 20 ≤ 143 + 20 = 163.

Theo nguyên lí Dirichlet, trong M có ít nhất hai số bằng nhau.

Mà các số n₁, n₂, n₃, ..., n₇₇ là hoàn toàn khác nhau.

Suy ra tồn tại hai số n_h và n_k sao cho n_h = n_k + 20, với 1 < h ≤ 77.

Do đó n_h – n_k = 20.

Điều này có nghĩa là ngày thứ k + 1 đến ngày thứ h, bạn An phải giải đúng 20 bài toán.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 96; 90; 42.