Ông An quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \[50{\rm{ }}m.\] Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(x\,\,(m)\,\,(0 < x < 25).\)

Nửa chu vi của mảnh đất là \(50:2 = 25\,\,(\;{\rm{m}})\)

Chiều dài của mảnh đất là \(25 - x\,\,(m)\)

Diện tích của mảnh đất ban đầu là \({S_1} = x(25 - x)\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích của mảnh đất còn lại sau khi bán là \({S_2} = {x^2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Khi đó, diện tích của mảnh đất bán là \(S = {S_1} - {S_2} = - 2{x^2} + 25x\)

Ta có \( - 2{x^2} + 25x = - 2\left( {{x^2} - \frac{{25}}{2}x + \frac{{625}}{{16}}} \right) + \frac{{625}}{8} = - 2{\left( {x - \frac{{25}}{4}} \right)^2} + \frac{{625}}{8}\)

Do đó \(S = - 2{x^2} + 25x \le \frac{{625}}{8}\,\,\left( {{m^2}} \right).\)

Vậy số tiền lớn nhất mà ông An nhận được khi bán đất là:

\(\frac{{625}}{8} \cdot 1\,\,500\,\,000 = 117\,\,187\,\,500\) (đồng).

Đáp án: \[{\bf{117}}\,\,{\bf{187}}\,\,{\bf{500}}\].