Ông An có 100 hecta đất dự định trồng hai loại cây là dâu tằm và nho. Biết rằng 1 hecta trồng dâu tằm cần 40 công và lãi được 150 triệu đồng, 1 hecta trồng nho cần 80 công và lãi được 200 tri

a) Từ giả thiết bài toán ta có các điều kiện:

Diện tích không âm: \(x \ge 0,y \ge 0\).

Tổng diện tích đất không quá 100 ha: \(x + y \le 100\).

Tổng số công lao động không vượt quá 5600 công: \(40x + 80y \le 5600\).

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 40 ta được: \(x + 2y \le 140\).

Đối chiếu với hệ bất phương trình đề bài cho \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 100}\\{ax + by \le 140}\end{array}} \right.\), ta suy ra: \(a = 1,b = 2\).

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) (kể cả biên) với các đỉnh:

\(O\left( {0;0} \right)\)

\(A\left( {100;0} \right)\) (giao của đường thẳng \(x + y = 100\) với trục \(Ox\))

\(C\left( {0;70} \right)\) (giao của đường thẳng \(x + 2y = 140\) với trục \(Oy\))

\(B\) là giao điểm của hai đường thẳng \(x + y = 100\) và \(x + 2y = 140\).

Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 100}\\{x + 2y = 140}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 60}\\{y = 40}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {60;40} \right)\).

Hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận thu được (đơn vị: triệu đồng) là: \(F\left( {x,y} \right) = 150x + 200y\).

Ta tính giá trị của \(F\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại \(O\left( {0;0} \right)\): \(F\left( {0,0} \right) = 0\)

Tại \(A\left( {100;0} \right)\): \(F\left( {100,0} \right) = 150 \cdot 100 + 200 \cdot 0 = 15000\)

Tại \(B\left( {60;40} \right)\): \(F\left( {60,40} \right) = 150 \cdot 60 + 200 \cdot 40 = 9000 + 8000 = 17000\)

Tại \(C\left( {0;70} \right)\): \(F\left( {0,70} \right) = 150 \cdot 0 + 200 \cdot 70 = 14000\)

So sánh các giá trị trên, ta thấy lợi nhuận lớn nhất thu được là \(17000\) triệu đồng (tức là 17 tỷ đồng) đạt được khi trồng 60 hecta dâu tằm và 40 hecta nho.