Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 8-3 năm 2024. Ông A đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32

Ta có thể tích chiếc hộp: \(V = {x^2}h = 32\) (đvtt), với \(x,\,\,h > 0.\) Suy ra \(h = \frac{{32}}{{{x^2}}}.\)

Phần mạ vàng của chiếc hộp: \(S = 2{x^2} + 8xh = 2{x^2} + 8x \cdot \frac{{32}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}.\)

Cách 1.Ta có \(2{x^2} + \frac{{256}}{x} = 2{x^2} + \frac{{128}}{x} + \frac{{128}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{128}}{x} \cdot \frac{{128}}{x}}} = 96\) (BĐT AM – GM)

Đẳng thức xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{128}}{x}\) hay \(x = 4\), khi đó \(h = 2.\)

Cách 2.Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\) với \(x > 0\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 4x - \frac{{256}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 256}}{{{x^2}}};\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 256 = 0 \Leftrightarrow x = 4\,;\,\,f\left( 4 \right) = 96.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(x = 4\), khi đó \(h = 2.\)Chọn A.