Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20 – 10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp. Để món quà trở n

a) Đúng. Thể tích khối hộp chữ nhật \[V = x.x.h = {x^2}h\].

b) Sai. Chiếc hộp có \(1\) mặt đáy là hình vuông cạnh \(x\) và có \(4\) mặt bên là hình chữ nhật kích thước \(x\) và \(h\). Vậy diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là: \[{S_{xq}} = {x^2} + 4xh\].

c) Sai. Vì mạ vàng trên mọi điểm của chiếc hộp nên mạ cả mặt trong và mặt ngoài.

Vậy \[{S_{MV}} = 2S = 2\left( {{x^2} + 4xh} \right) = 2{x^2} + 8xh\].

d) Đúng. Ta có thể tích chiếc hộp: \[V = {x^2}h = 32\] (đvtt), với \[x,h > 0\]. Suy ra \[h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\].

Phần mạ vàng của chiếc hộp: \[S = 2{x^2} + 8xh\]\[ = 2{x^2} + 8x.\frac{{32}}{{{x^2}}}\]\[ = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\] với \[x > 0\].

Ta có \[f'\left( x \right) = 4x - \frac{{256}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 256}}{{{x^2}}}\], \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 256 \Leftrightarrow x = 4\];\[f\left( 4 \right) = 96\].

BBT

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khi \(x > 4\) hàm số \(f\left( x \right)\) tăng. Vậy lượng vàng được mạ tăng.