Nhà sản xuất sử dụng hết \(24\sqrt 3 \) (\({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)) một loại vật liệu để làm một chiếc lồng đèn có dạng hình lăng trụ tam giác đều. Các mối ghép có kích thước không đáng

Gọi chiếc lồng đèn lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là \(a\) và chiều cao là \(h\) (với \(a,h > 0\)).

Diện tích toàn phần của lăng trụ là: \({S_{{\rm{tp}}}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + 3ah = 24\sqrt 3 \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 3 \left( {48 - {a^2}} \right)}}{{6a}}\).

Điều kiện để chiều cao \(h > 0\) là: \(48 - {a^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < a < 4\sqrt 3 \).

Thể tích của chiếc lồng đèn là: .

Xét hàm số \(V\left( a \right) = \frac{{48a - {a^3}}}{8}\) trên khoảng \(\left( {0;4\sqrt 3 } \right)\):

Ta có \(V'\left( a \right) = \frac{{48 - 3{a^2}}}{8}\); \(V'\left( a \right) = 0 \Rightarrow a = 4\).

Lập bảng biến thiên cho thấy thể tích đạt cực đại tại \(a = 4\).

Thể tích lớn nhất thu được là: \({V_{{\rm{max}}}} = V\left( 4 \right) = \frac{{48 \cdot 4 - {4^3}}}{8} = 16{\rm{\;(d}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Vây thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn là \(16{\rm{\;d}}{{\rm{m}}^3}\).