Nhà bác Hà có một cái ao hình vuông ABCD có cạnh dài 40 m. Bác Hà đã ngăn một góc ao để thả bèo. Biết rằng bác ngăn góc ao theo đoạn thẳng MN (M ∈ CD; N ∈ BC).

Đặt \[CM = x\,;\,\,CN = y\,\,\left( {0 < x\,;\,\,y < 40} \right)\].

Suy ra \[MD = MH = 40 - x\,;\,\,NB = NH = 40 - y,\] do đó \[MN = 80 - \left( {x + y} \right)\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[CMN\] vuông tại \[C\], ta có:

\[C{M^2} + C{N^2} = M{N^2}\] suy ra \[{x^2} + {y^2} = {\left[ {80 - \left( {x + y} \right)} \right]^2}\].

Mà \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] nên \[{x^2} + {y^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}\].

Do đó \[{\left[ {80 - \left( {x + y} \right)} \right]^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}\]

\[80 - \left( {x + y} \right) \ge \frac{{x + y}}{{\sqrt 2 }}\]

\[80\sqrt 2  - \sqrt 2 \left( {x + y} \right) \ge x + y\]

\[\sqrt 2 \left( {x + y} \right) + x + y \le 80\sqrt 2 \]

\[\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {x + y} \right) \le 80\sqrt 2 \]

\[x + y \le \frac{{80\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}} = 160 - 80\sqrt 2 \].

Dấu “=” xảy ra khi \[x = y = \frac{{160 - 80\sqrt 2 }}{2} = 80 - 40\sqrt 2 .\]

Khi đó, ta có:

\[{S_{CMN}} = {S_{ABCB}} - 2{S_{AMN}} = 1600 - 40 \cdot \left[ {80 - \left( {x + y} \right)} \right] = 40\left( {x + y} \right) - 1600\]

\[ \le 40\left( {1600 - 80\sqrt 2 } \right) - 1600 = 4800 - 3200\sqrt 2 \].

Vậy phần diện tích ao để thả bèo \(CMN\) lớn nhất là \(4800 - 3200\sqrt 2 \,\,\left( {{m^2}} \right)\) khi \(x = y = 80 - 40\sqrt 2 .\)