Người ta thiết kế một chiếc thùng hình trụ có thể tích V cho trước. Biết rằng chi phí

Giả sử chi phi sản xuất mỗi đơn vị diện tích cho bề mặt xung quanh là \(a\) đồng thì chi phi sản xuất cho mỗi đơn vị diện tích của mặt đáy là \[3a\] đồng.

Chi phí sản xuất thùng là \(S = 2\pi r\ell  \cdot a + 2\pi {r^2}.3a = 2\pi rh \cdot a + 2\pi  \cdot {r^2} \cdot 3a\)

\( = 2a\pi r \cdot \frac{V}{{\pi {r^2}}} + 6a\pi {r^2} = \frac{{2aV}}{r} + 6a\pi {r^2} = 2a\left( {\frac{V}{r} + 3\pi {r^2}} \right) = 2a \cdot f\left( r \right)\).

Chi phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ nhất khi \(f\left( r \right) = \frac{V}{r} + 3\pi {r^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(f'\left( r \right) = \frac{{ - V}}{{{r^2}}} + 6\pi r = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{6\pi }}}}\).

Bảng biến thiên

Vậy \(\min f\left( r \right) \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{6\pi }}}} \Rightarrow \frac{h}{r} = \frac{V}{{\pi {r^3}}} = \frac{V}{{\pi  \cdot {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{V}{{6\pi }}}}} \right)}^3}}} = 6.{\rm{ }}\)

Đáp án: 6.