Người ta muốn xây một đường cống thoát nước
12/17
Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m2. Các kích thước x, y (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.
Đường kính của nửa hình tròn là x (m, x > 0), suy ra bán kính nửa hình tròn là 
(m).
Diện tích phần mặt cắt hình chữ nhật là S1 = xy (m2). (x, y > 0)
Diện tích phần mặt cắt nửa hình tròn là S2 = 
(m2).
Theo bài ra ta có S1 + S2 = 2 hay 
, suy ra 
.
Vì x, y > 0 nên 
, từ đó suy ra 
.
Chu vi nửa hình tròn là C1 = 
πx (m).
Chu vi mặt cắt ngang là
C = 
(m) với .
Xét hàm số f(x) = 
với .
Ta có 
;
f'(x) = 0 
.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có 
, đạt được tại 
.
Với thì 
.
Vậy (m) và 
(m) thì chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này bằng 
(m).