Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là: (S): (x – 24)^2 + (y – 24)^2 + (z – 24)^2 = 100 (đơn vị cm) và phương trình đường
5/7
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là:
(S): (x – 24)2 + (y – 24)2 + (z – 24)2 = 100 (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là d: \[\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\].
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (S).
b) Tính số đo góc giữa d và trục Oz. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.
a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t\\y = 24 + t\\z = 24 + 3,25t.\end{array} \right.\]
Xét điểm M(24 + t; 24 + t; 24 + 3,25t) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu (S), ta được:
(24 + t – 24)2 + (24 + t – 24)2 + (24 + 3,25t – 24)2 = 100 ⇔ t = \[ \pm \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}}\].
Vậy d cắt (S) tại hai điểm \[M\left( {24 + \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 + \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 + \frac{{130\sqrt {201} }}{{201}}} \right)\] hoặc
\[M'\left( {24 - \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 - \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 - \frac{{130\sqrt {201} }}{{201}}} \right)\].
b) Vectơ chỉ phương của d và trục Oz lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {1;1;3,25} \right),\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\].
Ta có: cos(d; Oz) = \[\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {3,25} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + 3,{{25}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,917\].
Suy ra (d, Oz) ≈ 23,5°.