Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính 30 c m (hình vẽ). Hỏi độ dài các cạnh của khung gỗ phải bằng bao nhiêu?

Gọi \[I\] là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \[\widehat {ABC} = 60^\circ \].

Vì tam giác \(ABC\) đều có \[I\] là trực tâm nên \(BI\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác \(ABC\).

Do đó \[\widehat {CBI} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \].

Theo đề, ta có đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) có đường kính bằng \(30\,\,{\rm{cm}}\).

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là: \(IH = \frac{{30}}{2} = 15\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Xét tam giác \(BHI\) vuông tại \(H\), có: \(\tan \widehat {HBI} = \frac{{IH}}{{BH}}\).

Suy ra \[BH = \frac{{IH}}{{\tan \widehat {HBI}}} = \frac{{15}}{{\tan 30^\circ }} = 15\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\].

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(AH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung trực của tam giác \(ABC\).

Do đó \[H\] là trung điểm của \(BC\).

Vì vậy \[BC = 2BH = 2.15\sqrt 3 = 30\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\].

Vậy độ dài các cạnh của khung gỗ phải bằng \[30\sqrt 3 \,\,cm\].