Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm^3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất

a) Thế tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: \(V = 2xy\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Theo bài ra ta có \(V = 500\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\), khi đó \(2xy = 500\), suy ra \(y = \frac{{250}}{x}\).

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là: \({{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = 2({\rm{x}} + {\rm{y}}) \cdot 2 = 4({\rm{x}} + {\rm{y}})\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \({{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} + 2\;{{\rm{S}}_{\rm{t}}} = 4({\rm{x}} + {\rm{y}}) + 2{\rm{xy}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Lại có \({\rm{y}} = \frac{{250}}{x}\) nên \({{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = 4\left( {x + \frac{{250}}{x}} \right) + 2x \cdot \frac{{250}}{x} = 4x + \frac{{1000}}{x} + 500\).

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\).

c) Xét hàm số \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\) với \(x \in (0; + \infty )\).

Ta có \(S(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}}\);

Trên khoảng \((0; + \infty ),S(x) = 0\) khi \(x = 5\sqrt {10} \).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {500 + 4x + \frac{{1000}}{x}} \right) =  + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {500 + 4x + \frac{{1000}}{x}} \right) =  + \infty \)

Bảng biến thiên

d) Đế dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhó nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số \(S({\rm{X}})\) đạt giá trị nhó nhất bằng: \(500 + \frac{{200\sqrt {10} }}{5}\)

tại \(x = 5\sqrt {10} \). Với \(x = 5\sqrt {10} \), ta có \(y = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} = 5\sqrt {10} \).

Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là \(2\;{\rm{cm}},5\sqrt {10} \;{\rm{cm}},5\sqrt {10} \;{\rm{cm}}\) thì dùng ít vật liệu nhất.