Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng
8/8
Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng của khu nuôi cá riêng biệt là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là \({\rm{5}}\,{\rm{m}}\) và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là \(12\,{\rm{m}}\).
Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên bờ dọc và bờ ngang
Vì nên \(\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{AF}}{{FC}}\)\( \Rightarrow BE.FC = AF.EA = 5.12 = 60\)
Suy ra: \(FC = \frac{{60}}{{BE}}\)
Do \(A\) cố định nên \(E,F\) cố định suy ra \(AE,AF\) không đổi
Diện tích \(AEDF\) là: \(AE.AF = 12.5 = 60\left( {{m^2}} \right)\) (không đổi)
Ta có: \({S_{BDC}} = {S_{AEDF}} + {S_{AEB}} + {S_{AFC}} = 60 + {S_{AEB}} + {S_{AFC}}\)
Nên để \({S_{BDC}}\) nhỏ nhất thì \({S_{AEB}} + {S_{AFC}}\) nhỏ nhất
\({S_{AEB}} + {S_{AFC}} = \frac{1}{2}AE.EB + \frac{1}{2}AF.FC = \frac{1}{2}.12.EB + \frac{1}{2}.5.FC = 6.EB + 2,5.FC = 6.EB + 2,5.\frac{{60}}{{BE}}\)
\( = 6EB + \frac{{150}}{{BE}} \ge 2\sqrt {6EB.\frac{{150}}{{BE}}} = 60\)
Dấu bằng xảy ra khi \(6EB = \frac{{150}}{{BE}}\) suy ra \(BE = 5\left( m \right)\)
Khi đó, \({S_{BDC}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(60 + 60 = 120\left( {{m^2}} \right)\), đạt được khi
\(BD = 5 + 5 = 10\left( m \right);DC = 12 + \frac{{60}}{5} = 24\left( m \right)\)
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng của khu nuôi cá riêng biệt là \(120\left( {{m^2}} \right)\).