Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m)

Đặt cạnh bên là \(y\) và cạnh đáy của chóp đều là \(x\).

Độ dài đường cao của mặt bên là: \(a = \sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).

Khi đó theo tấm nhôm, ta được: \(2a + x = \sqrt 2  \Leftrightarrow 2\sqrt {{y^2} - \frac{{{x^2}}}{4}}  + x = \sqrt 2 \) (bằng đường chéo tấm nhôm hình vuông).

\( \Rightarrow 4\left( {{y^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} \right) = {\left( {\sqrt 2  - x} \right)^2} = {x^2} - 2x\sqrt 2  + 2 \Rightarrow 4{y^2} = 2{x^2} - 2x\sqrt 2  + 2.\)

Lại có \({V_{hc}} = \frac{1}{3}h \cdot {S_a} = \frac{1}{3}\sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot {x^2} = \frac{{{x^2}}}{3}\sqrt {\frac{{1 - x\sqrt 2 }}{2}}  = \frac{1}{6}\sqrt {2{x^4} - 2\sqrt 2 {x^5}} .\)

Ta thấy \({V_{hc}}\) lớn nhất khi \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 2\sqrt 2 {x^5}\) đạt giá trị lớn nhất \(\left( {0 < x < \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 8{x^3} - 10\sqrt 2 {x^4} = 2{x^3}\left( {4 - 5\sqrt 2 x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{2\sqrt 2 }}{5} \approx 0,57\;\,({\rm{m)}}.\)

Đáp án: \[{\bf{0}},{\bf{57}}\].