Người ta cắt bỏ các phần thừa của một tấm bìa hình tròn bán kính R theo các hình chữ nhật để giữ lại một hình lục giác đều bên trong. Các hình chữ nhật được gập lên tạo thành một hình lăng
20/22
Người ta cắt bỏ các phần thừa của một tấm bìa hình tròn bán kính \(R\) theo các hình chữ nhật để giữ lại một hình lục giác đều bên trong. Các hình chữ nhật được gập lên tạo thành một hình lăng trụ lục giác đều (không nắp) như hình vẽ. Biết rằng khi thể tích khối lăng trụ đạt giá trị lớn nhất, tỉ số giữa chiều cao của lăng trụ và độ dài cạnh đáy của nó có dạng \(\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{c}\) (với \(a,\,b,\,c\)là các số nguyên dương và phân số tối giản). Hãy tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\)
Gọi \(A,B\)là hai điểm của hình chữ nhật và \(A,B\)nằm trên đường tròn.
Gọi \(I\)là trung điểm cạnh \(AB\)
Gọi \(M\) là trung điểm của một cạnh lục giác đều cạnh\(x\). Đoạn \(OM\) chính là đường cao của tam giác đều cạnh \(x\), nên \(OM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).
Đoạn \(OA = R = \sqrt {O{I^2} + IA{}^2} = \sqrt {{{\left( {OM + MI} \right)}^2} + IA{}^2} = \sqrt {{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2} + h} \right)}^2} + \left( {\frac{x}{2}} \right){}^2} \left( * \right)\)
Từ \(\left( * \right)\)ta có:\({\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2} + h} \right)^2} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow \frac{{x\sqrt 3 }}{2} + h = \sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} \Rightarrow h = \sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\)
Diện tích đáy lục giác đều cạnh \(x\): \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{x^2}\)
Thể tích khối lăng trụ: \(V = S.h = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{x^2}\left( {\sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} - \frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
Đặt \(t = \frac{x}{2} \Rightarrow V\left( t \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {4{t^2}} \right)\left( {\sqrt {{R^2} - {t^2}} - t\sqrt 3 } \right) = 6\sqrt 3 \left( {{t^2}\sqrt {{R^2} - {t^2}} - {t^3}\sqrt 3 } \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {t^2}\sqrt {{R^2} - {t^2}} - {t^3}\sqrt 3 \)
\(f'\left( t \right) = 2t\sqrt {{R^2} - {t^2}} + {t^2}.\frac{{ - t}}{{\sqrt {{R^2} - {t^2}} }} - 3\sqrt 3 {t^2} \Leftrightarrow 2{R^2} - 3{t^2} = 3\sqrt 3 t\sqrt {{R^2} - {t^2}} \left( {**} \right)\)
Bình phương 2 vế của \(\left( {**} \right) \Rightarrow 36{t^4} - 39{R^2}{t^2} + 4{R^4} = 0 \Rightarrow {t^2} = \frac{{13 - \sqrt {105} }}{{24}}{R^2}\)
Từ phương trình đạo hàm: \(\sqrt {{R^2} - {t^2}} = \frac{{2{R^2} - 3{t^2}}}{{3\sqrt 3 t}}\)
Thay vào biểu thức của \(h\) thì \(h = \frac{{2{R^2} - 3{t^2}}}{{3\sqrt 3 t}} - t\sqrt 3 = \frac{{2{R^2} - 3{t^2} - 9{t^2}}}{{3\sqrt 3 t}} = \frac{{2{R^2} - 12{t^2}}}{{3\sqrt 3 t}}\)
Tỉ số: \(\frac{h}{x} = \frac{h}{{2t}} = \frac{{2{R^2} - 12{t^2}}}{{6\sqrt 3 {t^2}}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\left( {\frac{{{R^2}}}{{{t^2}}} - 6} \right)\)
Với \(\frac{{{R^2}}}{{{t^2}}} = \frac{{39 + 3\sqrt {105} }}{8}\). Khi đó