Người ta cần xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 4500m3 (phần xây dựng gồm đáy bể và các bức tường xung quanh bể).

Gọi \(x\,\,\left( m \right)\) là chiều rộng đáy bể.

Điều kiện: \[x > 0\].

Vì đáy bể có chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài của đáy bể là: \(2x\,\,\left( m \right)\)

Chiều cao của bể là: \(\frac{{4500}}{{2x.x}} = \frac{{4500}}{{2{x^2}}} = \frac{{2250}}{{{x^2}}}\,\,\,\left( m \right)\)

Diện tích của đáy bể là: \(x.2x = 2{x^2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích các bức tường xung quanh bể là: \(\left( {x + 2{\rm{x}}} \right).2.\frac{{2250}}{{{x^2}}} = 6x.\frac{{2250}}{{{x^2}}} = \frac{{13500}}{x}\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy bể và các bức tường xung quanh bể là: \(2{x^2} + \frac{{13500}}{x}\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Xét biểu thức: \(M = 2{x^2} + \frac{{13500}}{x}\)

\( = \left( {2{x^2} - 60x + 450} \right) + \left( {60x + \frac{{13500}}{x}} \right) - 450\)

\( = 2{\left( {x - 15} \right)^2} + 60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) - 450\)

Ta có: \[{\left( {x - 15} \right)^2} \ge 0\], với \[x > 0\].

Suy ra \(2{\left( {x - 15} \right)^2} \ge 0\), với \[x > 0\] (1)

Vì \[x > 0\] nên \[\frac{1}{x} > 0\].

Suy ra \[\frac{{225}}{x} > 225.0 = 0\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \[x\] và \[\frac{{225}}{x}\], ta được:

\(x + \frac{{225}}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{{225}}{x}} = 2\sqrt {225} = 2.15 = 30\).

Suy ra \(60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) \ge 60.30 = 1800\) (2)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: \(2{\left( {x - 15} \right)^2} + 60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) \ge 0 + 1800 = 1800\).

Do đó \(2{\left( {x - 15} \right)^2} + 60\left( {x + \frac{{225}}{x}} \right) - 450 \ge 1800 - 450 = 1350\).

Vì vậy \(M \ge 1350\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 15 = 0\) và \(x = \frac{{225}}{x}\).

Khi đó \(x = 15\) và \({x^2} = 225 = {15^2} = {\left( { - 15} \right)^2}\).

Suy ra \(x = 15\) và \(x = 15\) hoặc \(x = - 15\).

So với điều kiện \[x > 0\], ta nhận \(x = 15\).

Để chi phí thấp nhất để đảm bảo xây được bể nước thì diện tích phần xây dựng bể nước nhỏ nhất.

Tức là, diện tích phần xây dựng bể nước (bao gồm đáy bể và các bức tường xung quanh bể) bằng \(1350\,\,{m^2}\).

Chi phí thấp nhất để đảm bảo xây được bể nước là: \(1350.500\,\,000 = 675\,\,000\,\,000\) (đồng).

Vậy chi phí thấp nhất để đảm bảo xây được bể nước là \(675\,\,000\,\,000\) đồng.